PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TRIẾT LÝ CỦA SỰ TĂNG TRƯỞNG

I. Giới thiệu phương trình vi phân :

Phương trình vi phân có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của Khoa học như Vật lý (nhiệt động lực học,cơ học chất lỏng điện từ học, Hóa học (tốc độ phản ứng hóa học,và phân rã phóng xạ), Sinh học (tốc độ tăng trưởng của vi khuẩn, thực vật và các hình thái sống khác nhau), Kinh tế học. và hầu hết các nghiên cứu khoa học hiện đại khác đều liên quan đến phương trình vi phân.

Giả sử chúng ta có một hàm y = x²

chúng ta có thể viết đạo hàm của nó là :

dy/dx = 2x

thông thường, chúng ta chỉ gọi "2x" là kết quả của đạo hàm.

Tuy nhiên, nếu chúng ta viết đạo hàm và kết quả của nó hai vế khác nhau với dấu bằng ở giữa, hoặc viết dưới dạng hiệu, ví dụ :

dy/dx - 2x = 0

thì đây chính là một phương trình vi phân.

vậy theo định nghĩa dễ hiểu nhất, phương trình vi phân là một phương trình có chứa các đạo hàm, và mục tiêu của chúng ta là giải cho hàm ẩn.

với phương trình

dy/dx = 2x thì cách giải rất dễ, chúng ta chỉ cần tích phân hai vế

và có được nghiệm y(x) = x² + C

tuy nhiên đối với những phương trình như

dy/dx = y/2 thì chúng ta không thể tích phân được, bởi vì biến "x" đã ẩn đi, do đó với mỗi dạng khác nhau, chúng ta có cách giải khác nhau.

phương trình vi phân gồm có 3 loại chính.

1. (ODE) Phương trình vi phân bình thường

2. (PDE) Phương trình vi phân riêng phần

3. (DAEs) Hệ phương trình vi phân gồm phương trình bậc hai

Trong bài viết này chúng ta sẽ chỉ bàn về "ODE" vì nó là dạng phương trình vi phân phổ biến và dễ giải nhất.

"ODE" là phương trình xét sự thay đổi của hàm so với một biến.

ví dụ

dp/dt = k d²p/dt² là một phương trình ODE.

"PDE" là phương trình xét sự thay đổi của một hàm so với nhiều biến, ví dụ như : ∂²T/∂x² = k ∂T/∂y

trong trường hợp này chúng ta sử dụng ký hiệu "∂" vì T(x,y) là một hàm hai biến.

với "∂/∂x" là một toán tử đạo hàm riêng so với

"d/dx" là toán tử đạo hàm thông thường.

cách thức đạo hàm đều giống nhau, tuy nhiên khi chúng ta nhấn mạnh "đạo hàm riêng", ý chúng ta muốn nói là tính sự thay đổi của một hàm trong khi giữ biến khác trong hàm đó không đổi.

ví dụ T(t,x) là hàm nhiệt độ bao gồm vị trí "x" và thời gian "t".

nếu chúng ta tính ∂T/∂t, thì nghĩa là chúng ta đang tính tốc độ thay đổi nhiệt theo thời gian "t" tại vị trí "x" không đổi.

còn "∂T/∂x" nghĩa là tốc độ thay đổi nhiệt độ dọc theo "x" khi chúng ta quét nhiệt tại một thời điểm "t" không đổi.

như vậy, đối với (∂T/∂x) chúng ta giữ "t" không đổi.

đối với (∂T/∂t) chúng ta giữ "x" không đổi.

Phương trình nhiệt độ hay heat equation là một phương trình PDE hay Partial Differential Equation.
Phương trình này giúp chúng ta tính toán sự lan truyền của nhiệt độ trên 1 chiều của bề mặt.

II. Xác định cấp (Order) của phương trình vi phân :

cấp độ của phương trình vi phân là số bậc đạo hàm cao nhất của phương trình vi phân đó.

dy/dx = kx² là một ví dụ của phương trình vi phân cấp 1.

d²y/dx² = cos(dy/dx) là một ví dụ của phương trình vi phân cấp 2.

ngoài cấp độ ra phương trình vi phân còn có degree.

degree chính là số mũ của đạo hàm bậc cao nhất.

ví dụ : (dy/dx)² = k (d²y/dx²)³ là phương trình vi phân degree 3.

với số mũ ở đạo hàm bậc cao nhất là "3"

và đạo hàm bậc cao nhất là d²y/dx².

III. Tiên đoán dân số bằng phương trình vi phân :

Giả sử nhân loại chúng ta đang trong thời kỳ hòa bình, không tồn tại chiến tranh, dịch bệnh, hay những yếu tố nào ảnh hưởng đến sự sinh sản của chúng ta.

chúng ta biết dân số càng đông bao nhiêu, thì tốc độ sinh sản càng tăng nhanh bấy nhiêu, do đó từ lập luận này chúng ta có thể viết ra phương trình vi phân đầu tiên :

dP/dt = kP

đạo hàm thời gian của dân số tỉ lệ thuận với dân số hiện tại.

chúng ta có thể thấy, khi "P" càng lớn, thì "dP/dt" càng lớn.

điều này có nghĩa là để biết hàm tăng trưởng của dân số

P(t), chúng ta cần phải giải phương trình này.

phương án đầu tiên chúng ta có thể nghĩ ra là áp dụng tích phân hai vế, nhưng chúng ta nhận thấy, đối với phương trình này, chúng ta không có biến "t" vì nó đã bị ẩn đi rồi.

nên chúng ta cần biến đổi một chút trước khi tích phân.

để giải phương trình này trước hết hãy viết

dP/dt = kP sang

dP/P = k dt sau đó tích phân hai vế.

=> ∫ 1/P dP = ∫ k dt

=> ln(P) = kt + C

tại thời điểm này chúng ta chỉ cần dùng mối quan hệ giữa hàm logarit và hằng số Euler để tìm ra "P"

=> P(t) = eᵏᵗ⁺ᶜ = eᵏᵗ eᶜ = eᵏᵗ C₂

vì "e" là hằng số, nên eᶜ cũng là hằng số, nên chúng ta có thể viết lại hằng số với ký tự subscript 2.

=> P(t) = C₂ eᵏᵗ

giờ chúng ta đã có được nghiệm rồi đấy!

bây giờ chúng ta chuyển sang xét điều kiện để có phương trình hoàn chỉnh.

khi t = 0, ta có

P(0) = P₀ = C₂ eᵏ⁰ = C₂

vậy C₂ = P₀

vậy nghiệm hoàn chỉnh của chúng ta bao gồm cả điều kiện ban đầu là :

P(t) = P₀ eᵏᵗ

hay nói cách khác,

dP/dt = kP đặt điều kiện P(0) = P₀ có nghiệm là

P(t) = P₀ eᵏᵗ

công việc cuối cùng của chúng ta là xác định hằng số "k"

biết P(t)/P₀ = eᵏᵗ

ta suy ra k = ln(P(t)/P₀)/t

vậy để tính được hằng số "k" chúng ta chỉ cần biết dân số hiện tại và dân số trong quá khứ.

Giả sử chúng ta đã biết dân số toàn cầu vào năm 2021 là 7,874,965,825 người.

Dân số vào năm 2022 tăng lên thành 8,000,000,000 người.

Đặt P = 8,000,000,000 người và

P₀ = 7,874,965,825 người.

Chúng ta có thể tính "k" như sau:

k = ln(8,000,000,000/7,874,965,825)/(1 năm) = 0.0157527. Chúng ta sẽ gọi đây là hằng số tăng trưởng nhân loại.

Vào năm 2024, tức là sau 3 năm tính từ năm 2021, dân số toàn cầu sẽ là: P = 7,874,965,825 người * e^(0.0157527 * 3 năm) = 8,256,060,000 người.

Tuy nhiên, như đã nêu, chúng ta giả định rằng con người sinh sản trong điều kiện thuận lợi. Thực tế có thể là khác một chút do ảnh hưởng của yếu tố kinh tế, vật chất, dịch bệnh và các tác động bên ngoài khác có thể ảnh hưởng đến hằng số "k" theo thời gian. Do đó, tốc độ tăng trưởng dân số trong thực tế có thể lệch khá xa khi giá trị của "t" càng lớn.

Như vậy chúng ta có thể thấy trong trường hợp này, toàn bộ dân số của chúng ta dường như được dự đoán bởi hằng số "k" và hằng số Euler "e", và gia tăng theo hàm mũ.

Hãy dành ít phút để ngẫm về điều này về mặt triết học!

phương trình

P(t) = P₀ eᵏᵗ cho biết, ở một thời điểm "t" nào đó, dân số sẽ tăng trưởng nhanh hơn vận tốc ánh sáng trong chân không, mà điều này tất nhiên không thể xảy ra do vi phạm các định luật vật lý.

Do đó, sự tăng trưởng của mọi loại sinh vật, bao gồm cả con người, không thể tiếp tục mãi mãi như được mô tả bởi nghiệm của phương trình vi phân này.

Sớm hay muộn, chúng ta sẽ phải đối mặt với những thảm họa đáng kể trong tương lai như cạn kiệt tài nguyên, chiến tranh,hoặc một loại virus chết người nào đấy, dẫn đến sự thay đổi của hằng số "k".

Do đó, nếu bạn cảm thấy mình thiếu thốn điều kiện và vật chất hơn người khác, hay cuộc đời đối xử với bạn bất công hơn họ, hãy ngẫm về điều này nhé.

nếu chúng ta có một nguồn "tài nguyên vô hạn" và con người vẫn tiếp tục sinh sản với cùng một quy luật, mỗi người đều được ăn no mặc ấm, thì sớm muộn gì cũng có một (quả cầu người) giãn nở nhanh hơn vận tốc ánh sáng trong chân không.

Điều này không được phép xảy ra và

tất nhiên điều này không thể nào xảy ra được.

tài nguyên trên trái đất có giới hạn,không sớm thì muộn, sẽ phải có một đại thảm họa nào đó thay đổi hằng số "k" của nhân loại trong tương lai, từ đó sự tăng trưởng dân số sẽ bắt đầu chậm lại và điều chỉnh theo những hạn chế thực tế của tài nguyên và môi trường. Đây là một quá trình tất yếu để duy trì sự cân bằng giữa nhân loại và tài nguyên mà chúng ta đang có.

hoặc nhân loại chúng ta phải di cư sang những hành tinh khác trong dải ngân hà, khi này sự bùng nổ dân số có thể tiếp tục tăng mạnh, tuy nhiên đến một lúc nào đó, sự tăng trưởng cũng phải gián đoạn.

IV. Vẻ đẹp của hàm logarit và lực cản của không khí :

chúng ta biết ΣF = ma trong định luật 2 Newton, và chúng ta biết gia tốc "a" là đạo hàm bậc 2 của quãng đường cho thời gian.

vậy chúng ta có thể viết lại phương trình ΣF = ma của Newton dưới dạng vi phân là ΣF = m (d²x/dt²)

nếu chúng ta thêm vào lực cản không khí tỉ lệ thuận với vận tốc bình phương F₁ = -k(dx/dt)²

với "k" là hằng số ma sát.

và lực tác dụng có giá trị không đổi "F₀"

thì lực tổng sẽ là :

ΣF = F₀ + F₁ = m d²x/dt²

suy ra

m d²x/dt² = F₀ - k(dx/dt)²

với "F₀" không đổi, tức là hằng số, ta có một phương trình vi phân cấp 2 :

d²x/dt² = 1/m[F₀-k (dx/dt)²]

đặt điều kiện vận tốc ban đầu x'(0) = 0

chúng ta có nghiệm như sau :

x(t) = m/k ln[cosh(sqrt(kF₀)t/m)]

nghiệm "x(t)" chính là phương trình tính quãng đường của vật di chuyển khi nó bị đẩy đi với lực "F₀" không đổi và chiến đấu với ma sát F₁ = -k(dx/dt)² và đây là nghiệm có chứa hàm logarit.

điều này vô cùng có lý bởi vì chúng ta có thể thấy ở biểu đồ bên dưới, hàm logarit có đặc tính là tăng rất nhanh khi giá trị của

biến là rất nhỏ sau đó hàm trở nên gần như tuyến tính khi giá trị của "t" lớn dần.

điều này hợp lý bởi vì một vật bị tác động bởi một lực "F₀" không đổi ban đầu sẽ gia tốc cho đến khi đạt vận tốc cuối (terminal velocity), đó là khi lực cản của không khí có độ lớn bằng với lực đẩy của chúng ta ||F₀|| = ||F₁||, nghĩa là gia tốc d²x/dt² sẽ giảm cho đến khi = 0, và vận tốc trở nên tuyến tính, thỏa mãn đường cong logarit như hình bên dưới.

Qua những ví dụ như bùng nổ dân số hay hiệu ứng hỗn loạn trong chuyển động với lực ma sát, chúng ta đã chứng kiến sự linh hoạt và khả năng thần kỳ của phương trình vi phân trong việc mô phỏng và dự đoán thế giới xung quanh. Hy vọng rằng qua chặng đường này, chúng ta đã cùng nhau thấu hiểu thêm về vẻ đẹp của những phương trình khó nhằn và sự phức tạp nó có thể biểu diễn. Xin chân thành cảm ơn tất cả quý độc giả đã dành thời gian quý báu.

Cảm ơn và hẹn gặp lại các bạn nhé!