Mở đầu :
Chào mừng các bạn đọc giả đã quay trở lại.
hôm nay chúng ta sẽ thảo luận về quan hệ động lượng-4 trong không-thời gian Hyperbolic và phương pháp để suy ra phương trình hoàn thiện của E=mc²
bài viết này hơi mang tính nâng cao một chút trong khuôn khổ thuyết tương đối hẹp, nhưng có một sự thật là, những thứ đơn giản thì không bao giờ hoàn thiện.
do đó để có một sự hiểu biết triệt để về các hiện tượng vật lý, chúng ta cần phải đào sâu
vào cốt lõi của vấn đề.
Trước hết chúng ta bắt đầu với câu hỏi như sau :
Năng lượng là đại lượng vô hướng hay đại lượng vector?
Rõ ràng, câu trả lời là "đại lượng vô hướng" đúng không?
Tuy nhiên, định nghĩa này chỉ đúng trong vật lý cổ điển mà thôi.
Trong thuyết tương đối hẹp, khái niệm về năng lượng đã thay đổi, do đó năng lượng không đơn thuần chỉ là đại lượng vô hướng, mà đã trở thành một đại lượng vector.
trong thuyết tương đối rộng (General Relativity), năng lượng chính là một Tensor trong không-thời gian 4 chiều với 16 thành phần khác nhau, tuy nhiên chúng ta sẽ không bàn đến tensor và thuyết tương đối rộng trong bài viết này.
Trong bài viết này chúng ta sẽ chỉ thảo luận về năng lượng và động lượng trong khuôn khổ của Thuyết Tương Đối Hẹp mà thôi.
I. Vấn đề đối với hạt photon :
Khi các sinh viên đại học tiếp xúc với vật lý hạt nhân, họ học được rằng, trong một phản ứng hạt nhân, dù là tổng hợp hạt nhân hay phân hạch hạt nhân, họ được dạy rằng năng lượng là đại lượng duy nhất được bảo toàn, không phải khối lượng.
trong một số phản ứng hạt nhân, một phần nhỏ khối lượng hoàn toàn biến mất khỏi vũ trụ và được mang đi theo bức xạ điện từ dưới dạng hệ thức E=mc² , với "m" là phần khối lượng bị mất đã bị chuyển hóa thành năng lượng bức xạ.
Bởi vì c² là một hằng số có giá trị rất lớn, lên đến gần
90,000,000,000,000,000 m²/s²
do đó chỉ cần một gram duy nhất của khối lượng được chuyển hóa thành bức xạ điện từ, có thể nấu chảy cả một thành phố thành tro bụi.
do đó theo nguyên lý này, những quả bom nguyên tử sử dụng nguyên lý phản ứng dây chuyền, rất hiệu quả trong việc chuyển đổi khối lượng thành năng lượng.
Đối với quả bom nguyên tử Little Boy được Mỹ thả xuống thành phố Hiroshima tại Nhật Bản, lượng năng lượng giải phóng là 63 Terajoule, tương ứng với 0.7 gram theo phương trình
E=mc² của Albert Einstein.
 |
| Đám mây hình nấm ở phía trên Hiroshima sau vụ thả bom nguyên tử Little Boy. |
Tuy nhiên điều này phát sinh 1 nghịch lý đối với các sinh viên.
Nếu, 63 Terajoule kia chuyển thành bức xạ, thì bức xạ điện từ phải mang năng lượng, và bởi vì năng lượng của bức xạ điện từ được lượng tử hóa trong các hạt photon, điều này cũng có nghĩa là các hạt photon có mang năng lượng.
và nếu các hạt photon có năng lượng, liệu chúng ta có thể kết luận photon có khối lượng?
Câu hỏi này nổi tiếng và gây tranh cãi đến mức, vẫn còn rất nhiều tranh luận trên các diễn đàn khoa học ngày nay, như Physics Exchange Stack hoặc Quora.
Một số người tin rằng E=mc² có thể áp dụng cho các hạt photon, bởi vì nếu photon không có khối lượng, chúng ta sẽ có m = 0 , và một số nhân cho 0 luôn bằng 0,
do đó họ rút ra hai kết luận dựa trên suy nghĩ :
1. các hạt photon có khối lượng nhưng rất nhỏ không thể đo đạc được.
2. điều này cho thấy phương trình E=mc² là sai và công trình của Albert Einstein hoàn toàn là viễn tưởng.
Tất nhiên "không có kết luận nào trong đây là đúng cả", vì đây là một trong những điều phản trực giác nhất khi học về Thuyết Tương Đối Hẹp.
Các nhà khoa học chắc chắn 100% các hạt photon là phi khối lượng, nghĩa là không mang khối lượng, và phương trình E=mc² , thật ra là một phương trình chưa hoàn thiện, vì thế chúng ta cần một phương trình hoàn thiện hơn.
trước khi tìm hiểu vì sao các nhà khoa học lại có thể mạnh miệng như vậy, hãy đặt ra câu hỏi như sau :
Thế nào là không có khối lượng?
một vật có khối lượng không thể đạt được vận tốc ánh sáng do hệ số Lorentz γ có thể được tính toán như sau :
với "v" là vận tốc của vật so với bạn, còn "c" là vận tốc ánh sáng trong chân không.
chúng ta có thể thấy, hệ số Lorentz là một hàm của vận tốc, do đó khi vận tốc tiến đến vận tốc ánh sáng, hệ số này sẽ tăng đến vô cùng, và hệ số này tỉ lệ thuận với tổng năng lượng của vật di chuyển, do đó khi vật di chuyển, phương trình chính xác hơn để miêu tả năng lượng là
E=γmc² , có thể thấy rõ ở hình bên dưới :
do đó chúng ta có thể thấy điểm mấu chốt chung là năng lượng tiến đến vô cùng khi vật tiếp cận vận tốc ánh sáng, vì lý do này, các vật có khối lượng không bao giờ có thể đạt được vận tốc ánh sáng.
vì thế đây chính là ranh giới quyết định vì sao các hạt có khối lượng không thể đạt vận tốc ánh sáng, còn các hạt phi khối lượng có thể đạt vận tốc ánh sáng.
trước hết hãy áp dụng Indeterminate forms :
 |
| Indeterminate forms |
Dưới đây là 6 công thức của Indeterminate forms, chính là 6 dạng vô định, nhưng chúng ta biết rằng nó phải bằng với một hằng số.E=γmc² thuộc dạng thứ 5, là
[∞ * 0 = hằng số] (vô cực nhân với 0 bằng một hằng số)
nghĩa là nếu chúng ta đặt E=γmc² và giữ E không đổi, sau đó giảm m tiến về 0, γ sẽ tiến đến ∞ vì thế chúng ta sẽ có dạng vô cực nhân 0 bằng hằng số.
từ đó chúng ta chứng minh được, với một hạt photon, di chuyển ở vận tốc ánh sáng, và mang năng lượng hữu hạn, thì khối lượng của nó phải = 0
do đó chúng ta đã chứng minh được ánh sáng nói riêng, và bức xạ điện từ nói chung, không mang khối lượng.
Tuy nhiên chúng ta vẫn còn một vấn đề chưa giải quyết, đó là tìm ra một mối quan hệ năng lượng-động lượng-khối lượng, mà chúng ta có thể áp dụng với mọi loại vật thể, kể cả hạt photon.
II : Khoảng không-thời gian và các đại lượng 4 chiều :
Trong bài viết trước chúng ta đã chứng minh được không-thời gian là hình học Hyperbolic và trong bài viết Tensor Metric, mình đã chứng minh quãng đường vi phân bình phương giữa hai vật thể, còn gọi là line element, có thể được tính ra từ tensor metric với phương trình như sau (đối với không gian 2 chiều) : (ds)² = (dx⁰ dx⁰) g₀₀ + (dx⁰ dx¹) g₀₁ + (dx¹ dx⁰) g₁₀ + (dx¹ dx¹) g₁₁
các bạn lưu ý rằng, các chỉ số ở phía trên các biến "dx" đại diện cho thứ tự chiều không gian, không phải là số mũ nhé.
ví dụ nếu mình muốn viết dx¹ bình phương, mình sẽ viết (dx¹)²
điều này là bởi vì trong Einstein's notation,
một tổng qua các chiều như : (ds)² = (dx⁰ dx⁰) g₀₀ + (dx⁰ dx¹) g₀₁ + (dx¹ dx⁰) g₁₀ + (dx¹ dx¹) g₁₁
có thể được viết thành : (ds)² = gᵢj dxᶦ dxʲ
Chúng ta có thể áp dụng định lý này vào không-thời gian phẳng bằng cách xác định Tensor Metric của không-thời gian.
với không-thời gian phẳng, chúng ta có Metric Minkowski 2 chiều với :
g₀₀ = c²
g₀₁ = 0
g₁₀ = 0
g₁₁ = -1
điều này nghĩa là quãng đường vi phân giữa hai sự kiện trong không-thời gian bình phương có thể được viết thành :
(ds)² = c² (dx⁰)² - (dx¹)²
với x⁰ là chiều thời gian, còn x¹ là chiều không gian "x" trong tọa độ Cartesian.
do đó chúng ta có thể biểu diễn không-thời gian 4 chiều trong tọa độ Cartesian là
(t,x,y,z) thành (x⁰ ,x¹ , x², x³)
toàn bộ (x⁰ ,x¹ , x², x³) có thể được viết dưới dạng vector cột hoặc là tổng tuyến tính :
S = (x⁰ ε₀ + x¹ ε₁ + x² ε₂ + x³ ε₃)
với epsilon "ε" gọi là vector cơ sở.
chúng ta gọi "S" là vector vị trí-4 , tức là một vector vị trí miêu tả thành phần là vị trí tọa độ của một sự kiện trong không-thời gian.
một sự kiện có thể được miêu tả bởi 3 chiều không gian (x¹ , x², x³) và 1 chiều thời gian (x⁰)
tương tự với "S" , chúng ta có vận tốc-4 S'(𝜏) , với "𝜏" là thời gian thích hợp của một vật thể.
𝜏 có thể hiểu đơn giản là thời gian đo đạc các sự kiện bởi người quan sát ở trong một hệ quy chiếu chuyển động thay vì hệ quy chiếu bên ngoài, dù đối với các hệ quy chiếu khác, thời gian giữa các sự kiện có thể lớn hơn, tuy nhiên, nếu sử dụng phép biến đổi Lorentz, tất cả mọi người quan sát ở các hệ quy chiếu khác đều đồng tình với "𝜏" , do đó "𝜏" được xem là một đại lượng bất biến (invariant property) trong thuyết tương đối hẹp.
mình sẽ giải thích thêm về "𝜏" trong các bài viết ở tương lai, hiện tại cứ nhớ rằng, nếu chúng ta muốn đạo hàm toàn bộ vector vị trí-4 , thì chúng ta không thể đạo hàm cho thời gian tọa độ "x⁰".
nguyên nhân là bởi vì vector vị trí-4
S = (x⁰ ε₀ + x¹ ε₁ + x² ε₂ + x³ ε₃)
có chứa tọa độ thời gian "x⁰"
nếu bây giờ chúng ta đạo hàm cho thời gian thì thành phần đầu tiên của vector sẽ trở thành "1" , do đó chúng ta phải đạo hàm cho thời gian thích hợp "𝜏".
mô-đun của vector vị trí-4, ký hiệu ||S|| còn có tên gọi khác là (Spacetime interval), tạm dịch là khoảng không-thời gian.
ngoài vị trí-4 còn có [Vận Tốc-4, Gia Tốc-4 , Lực-4 , Động Lượng-4] , giống như các đại lượng chuyển động ở cơ học Newton, nhưng chúng được nâng cấp thành phiên bản 4 chiều thay vì 3 chiều.
Lưu ý : trong suốt bài viết này, mình sẽ đề cập rất nhiều về vận tốc-4 và động lượng-4, do đó để tránh mâu thuẫn với vận tốc-3 , động lượng-3 vv... mình sẽ sử dụng ký tự viết hoa đối với các đại lượng 4 chiều.
ví dụ vị trí-4 là "S"
vận tốc-4 là "U"
còn các đại lượng viết thường sẽ là đại lượng 3 chiều, ví dụ vận tốc-3 "v".
III : Năng lượng chính là động lượng xuyên qua chiều thời gian :
Trước khi hiểu được động lượng và năng lượng như thế nào, chúng ta phải chứng minh
vận tốc-4 của vạn vật là vận tốc ánh sáng trong chân không.
phải đấy, bạn nghe không nhầm đâu, mô-đun của vận tốc-4 chính là vận tốc ánh sáng.
||U|| = c
trước hết chúng ta hãy viết đạo hàm vị trí-4 "S" cho thời gian thích hợp "𝜏"
ta có :
U = dS/d𝜏
= d/d𝜏(x⁰ ε₀ + x¹ ε₁ + x² ε₂ + x³ ε₃)
= (dx⁰/d𝜏 ε₀ + dx¹/d𝜏 ε₁ + dx²/d𝜏 ε₂ + dx³/d𝜏 ε₃)
để đơn giản hóa biểu thức này, hãy loại bỏ 2 chiều không gian đi, và chỉ giữ lại 1 chiều thời gian x⁰ và chiều không gian x¹ ta suy ra :
U = (dx⁰/d𝜏 ε₀ + dx¹/d𝜏 ε₁)
lưu ý, không nên nhầm lẫn [dx¹/d𝜏] với [dx¹/dx⁰].
đối với các vật thể di chuyển trong không gian, vận tốc chúng ta nói đến là đạo hàm thời gian, và vận tốc này luôn nhỏ hơn "c".
tuy nhiên, dx¹/d𝜏 có thể vượt lên c, bởi vì thời gian thích hợp "𝜏" trôi càng chậm khi dx¹/dx⁰ tiến đến c.
do đó ta có [dx¹/d𝜏] = γ [dx¹/dx⁰]
hãy gọi [dx¹/d𝜏] là U¹ và [dx¹/dx⁰] là v¹
chúng ta gọi U¹ là vận tốc thích hợp theo chiều x¹ và v¹ là vận tốc bình thường theo chiều x¹.
do đó
U¹ = γ v¹
tương tự như vậy, áp dụng với "u" chiều, ta có :
Uᵘ = γ vᵘ
và vận tốc thích hợp là :
V = γ v
với "v" là vận tốc-3 , chính là vận tốc bình thường trong không gian 3 chiều :
v = (v¹ ε₁ + v² ε₂ + v³ ε₃ )
||v|| = sqrt[(v¹)²+(v²)²+(v³)²]
trước hết hãy quay lại phiên bản 2 chiều để việc tính toán và dẫn xuất trở nên dễ dàng hơn :
U = (dx⁰/d𝜏 ε₀ + dx¹/d𝜏 ε₁)
chúng ta hãy chứng minh mô-đun ||U||² = U . U = c²
U . U = (dx⁰/d𝜏 ε₀ + dx¹/d𝜏 ε₁) . (dx⁰/d𝜏 ε₀ + dx¹/d𝜏 ε₁)
= (dx⁰/d𝜏 dx⁰/d𝜏) (ε₀ . ε₀) + 2 (dx⁰/d𝜏 dx¹/d𝜏) (ε₀ . ε₁) + (dx¹/d𝜏 dx¹/d𝜏) (ε₁ . ε₁)
nhờ vào metric Minkowski :
g₀₀ = c²
g₀₁ = 0
g₁₀ = 0
g₁₁ = -1
chúng ta biết :
g₀₀ = (ε₀ . ε₀) = c²
g₀₁ (ε₀ . ε₁) = 0 = (ε₁ . ε₀)
g₁₁ (ε₁ . ε₁) = -1
suy ra :
U . U = c² (dx⁰/d𝜏)² - (dx¹/d𝜏)²
chúng ta có thể viết dx⁰/d𝜏 = γ
và dx¹/d𝜏 = γ v¹ do đó
U . U = [c² γ² - γ² (v¹)²]
= c² γ² [c² - (v¹)²]
= c² γ² [1- (v¹)²/c²]
lúc này chúng ta có thể xác định giá trị của (1- (v¹)²/c²) bằng cách nhớ lại định nghĩa của γ
chính là 1/sqrt(1-(v¹)²/c²)
do đó (1- (v¹)²/c²) = 1/γ²
do đó
U . U = c² γ² 1/γ² = c²
và nên nhớ rằng chúng ta đang đối đầu với 2 chiều nên v¹ = v
nhưng nếu chúng ta mở rộng lên 4 chiều, thì U . U = c² vẫn đúng, do đó chúng ta đã chứng minh được mô đun của vận tốc-4 ||U|| = c
nếu chúng ta nhân vector "U" cho khối lượng nghỉ của vật, chúng ta sẽ tạo ra một vector khác.
chúng ta đặt cho vector này một ký hiệu "P" , và ta gọi vector này là động lượng-4 của vật.
P = mU
công thức này giống hệt như công thức động lượng-3 trong vật lý cổ điển p = mv , nhưng
vector vận tốc và vector động lượng giờ đây chứa cả chiều thời gian.
chúng ta có thể viết động lượng 4 thành tổng tuyến tính :
P = (P⁰ ε₀ + P¹ ε₁ + P² ε₂ + P³ ε₃)
hoặc có thể lấy tất cả các biến tọa độ viết thành vector cột nếu bạn thích.
chúng ta biết P = mU, chúng ta có thể nhân tất cả mọi thành phần của U cho m như sau :
(P⁰ ε₀ + P¹ ε₁ + P² ε₂ + P³ ε₃) = m (U⁰ ε₀ + U¹ ε₁ + U² ε₂ + U³ ε₃)
= (mU⁰ ε₀ + mU¹ ε₁ + mU² ε₂ + mU³ ε₃)
do đó ta suy ra
Pᵘ = mUᵘ
thành phần P⁰ rất đặc biệt vì đây chính là động lượng của chiều thời gian.
trái ngược với định nghĩa về động lượng-3.
khi một vật đứng yên, vận tốc "v" = 0 , do đó động lượng-3 của nó cũng bằng 0.
nhưng khi vật thể đứng yên, thì vật thể vẫn mang trong mình động lượng-4 vì vật đấy vẫn đang di chuyển vào chiều thời gian, với vector U⁰
chúng ta đã biết Uᵘ = γ vᵘ chúng ta có thể dùng công thức này để tính toán ra U⁰
hóa ra khi một vật thể đứng yên trong không gian, toàn bộ thành phần vận tốc của nó dồn về phía chiều thời gian.
và căn cứ vào công thức ||U|| = c, chúng ta biết rằng, thành phần c phải đến từ tọa độ thời gian.
khi vật thể đứng yên trong không gian, γ = 1
do đó chúng ta có thể kết luận, khi vật thể đứng yên
U⁰ = γ v⁰ = γc = c trong trường hợp vật thể đứng yên.
khi vật thể di chuyển qua không gian, U⁰ = γc , và nó sẽ tăng dần theo vận tốc-3 do đó chúng
ta kết luận rằng γc = U⁰
LƯU Ý 2 : vì chúng ta định nghĩa U⁰ = γ v⁰ và v⁰ = dx⁰/d𝜏 vốn = 1 khi vật đứng yên, làm sao chúng ta có được giá trị "c" ?
rất đơn giản, chúng ta chỉ cần thay đổi metric signature từ
[c² , -1 , -1 , -1] sang [1 , -1 , -1 , -1]
lúc này hệ tọa độ (x⁰ ,x¹ , x², x³) sẽ trở thành (cx⁰ ,x¹ , x², x³)
ghép vào công thức
P⁰ = mU⁰ ta suy ra được P⁰ = γmc
bạn có còn nhớ công thức E = γmc² ?
ngay lập tức chúng ta nhận ra rằng P⁰ = E/c , hay động lượng qua chiều thời gian, chính là năng lượng toàn phần chia cho vận tốc ánh sáng.
mà bởi vì "c" là hằng số, chúng ta có thể nói, động lượng qua chiều thời gian chính là năng lượng, chỉ là được đo ở thứ nguyên của động lượng thôi.
IV : Hệ thức năng lượng đầy đủ của Albert Einstein :
sử dụng Metric Minkowski, chúng ta có thể viết mô-đun vector vận tốc bình phương thành :
||U||² = (U⁰)² - (U¹)² - (U²)² - (U³)²
chúng ta có thể làm điều tương tự với động lượng như sau :
||P||² = (P⁰)² - (P¹)² - (P²)² - (P³)²
biết được P⁰ = E/c chúng ta có thể suy ra :
||P||² = E²/c² - (P¹)² - (P²)² - (P³)²
và chúng ta biết mô-đun động lượng-3 bình phương là [(P¹)² + (P²)² + (P³)²] = γ²m²v² = γ²p²
hãy gọi ρ² = γ²p²
ta gọi đây là động lượng tương đối tính, và động lượng này chính là thước đo thực sự của động lượng-3 khi vận tốc của một vật tiếp cận vận tốc ánh sáng.
suy ra :
||P||² = E²/c² - ρ²
Tại đây ta biết, P = mU chúng ta có thể xem quan hệ của ||P|| với khối lượng bằng cách tích vô hướng nó.
ta có : P = mU
||P||² = P . P = (mU) . (mU) = m² (U . U) = m²c²
ta suy ra :
m²c² = E²/c² - ρ²
nhân hai vế cho "c²" ta thu được :
m²c⁴ = E² - ρ²c²
ta thu được :
E² = m²c⁴ + ρ²c²
và đây chính là hệ thức Năng lượng-Động lượng-Khối lượng nổi tiếng của Albert Einstein.
hãy xem điều gì xảy ra khi chúng ta để vật thể đứng im, tức là đặt ρ = 0
ta suy ra
E² = m²c⁴ + 0
E = mc²
hãy xem điều gì xảy ra nếu chúng ta đặt khối lượng nghỉ m = 0, chính là trường hợp của các photon.
ta thấy phương trình rút về thành
E = ρc
đây chính là quan hệ năng lượng-động lượng của một hạt photon.
các hạt photon là phi khối lượng, nhưng chúng vẫn mang theo động lượng tương đối tính nhờ vào trường lượng tử của mình, và năng lượng sẽ của hạt photon sẽ tỉ lệ thuận với động lượng này.
Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa chứng minh được làm thế nào photon không có khối lượng.
đối với photon thì vector-4 sẽ được gọi là null-vector.
vì ||P|| = mc
đối với photon, chúng ta có ||P|| = 0
do đó
||P||² = 0 = E²/c² - (P¹)² - (P²)² - (P³)²
E²/c² = (P¹)² + (P²)² + (P³)²
Như vậy là xong!
chúng ta đã chứng minh được photon, tuy không có khối lượng, vẫn có thể mang năng lượng, và năng lượng đó đến từ động lượng của nó.
đây chính là lý do vì sao ánh sáng có thể tác dụng lực lên các vật thể.
điều này có nghĩa là trên lý thuyết, nếu bạn đứng im trong không gian không có tác dụng của ngoại lực, sau đó bạn bật một chiếc đèn pin, bạn sẽ bị đẩy ngược chiều với ánh sáng, dù với một lực vô cùng nhỏ không thể nhận biết.
điều này là bởi vì động lượng bị mất của ánh sáng được bạn hấp thụ, do đó sự thay đổi của động lượng sinh ra lực.
V : Tại sao chúng ta lại quan tâm đến động lượng-4?
Hãy hình dung bạn có một vector có độ dài ||R|| trên mặt phẳng (x,y)
nếu bây giờ chúng ta xoay vector này xung quanh vòng tròn, thì thành phần của R sẽ thay đổi.
tuy nhiên bán kính ||R|| không bao giờ thay đổi.
cũng tương tự như vậy, khi chúng ta đổi góc nhìn và xoay trong không gian 3 chiều, vector vận tốc và động lượng vẫn có mô-đun không đổi.
Tuy nhiên, nếu chúng ta đổi hệ quy chiếu sang hệ quy chiếu của vật đó, thì vector vận tốc-3 và vector động lượng-3 lập tức biến mất, vì giờ đây vật thể trông như đứng yên.
hiện tượng này xảy ra là bởi vì chúng ta không xem vector như một đối tượng 4 chiều mà chỉ xem nó như là một đối tượng 3 chiều, do đó mô-đun không bảo toàn khi chúng ta thay đổi hệ quy chiếu.
tuy nhiên, nhờ cố vấn của Albert Einstein là Hermann Minkowski đã phát triển không-thời gian động học sang không-thời gian hình học.
chúng ta có một vector động lượng-4 không bao giờ thay đổi, cho dù chúng ta có đổi hệ quy chiếu đi chăng nữa.
và quan trọng hơn hết, động lượng-4 cũng được bảo toàn.
TADA đến đây là hết rồi ạ.
Bạn có suy nghĩ gì về năng lượng sau khi đọc bài viết này?
Hãy chia sẻ cảm nghĩ dưới phần bình luận cho mình biết nhé.
Tác giả : Quach Minh Dang
Comments
Post a Comment