KHÔNG-THỜI GIAN HYPERBOLIC | VÌ SAO KHÔNG THỂ ĐẠT VẬN TỐC ÁNH SÁNG?

Hãy tưởng tượng bạn đang đứng yên cạnh một ga tàu hỏa và quan sát thấy một chiếc tàu hỏa đang di chuyển ở vận tốc 120 km/h.

trên chiếc tàu hỏa đó, có một hành khách đi bộ lên phía trước đến chỗ của bác tài để hỏi thời điểm tàu đến ga tiếp theo, hành khách này đi ở vận tốc 5 km/h.

Câu hỏi đặt ra ở đây là vận tốc của hành khách đi bộ trên tàu hỏa so với bạn là bao nhiêu?

Câu trả lời rất đơn giản đúng không nào? chúng ta chỉ cần cộng các vận tốc lại với nhau, ta có công thức :

Vt = (v₁ + v₂)

với "v₁" của tàu hỏa so với bạn , còn "v₂" là vận tốc của hành khách đi bộ so với tàu hỏa, như vậy vận tốc của người đi bộ trên tàu hỏa so với bạn là V = (120 km/h + 5 km/h) = 125 km/h

Ngoại trừ, công thức này thật sự không đúng, (ít nhất là không chính xác tuyệt đối).

I. Ý nghĩa của phép biến đổi Galileo :

Hãy quay trở lại lịch sử.

Vào năm 1632, nhà thiên văn học người italia Galileo Galilei đã khám phá ra tính tương đối của chuyển động, ông là người đã đưa ra tiên đề cho chuyển động thẳng đều, đó là các định luật vật lý hoàn toàn giống nhau đối với mọi hệ quy chiếu có chuyển động thẳng đều, và không hệ quy chiếu nào đúng hơn hệ quy chiếu nào.

Phép biến đổi Galileo có thể được viết dưới dạng hai phương trình, một cái cho vị trí (x), một cái cho thời gian (t) như sau :

x = x' + vt'

t = t'

Để hiểu được các phương trình này, chúng ta hãy hình dung như sau.

hãy tưởng tượng bạn đang chạy xe gắn máy, và bạn muốn đo khoảng cách từ bụng bạn đến chìa khóa xe.

hãy gọi khoảng cách này là x'

từ hệ quy chiếu của bạn, mọi đo đạc của bạn về không gian và thời gian cho biết đại lượng x' này luôn cố định, vì bản thân của bạn gắn liền với chiếc xe máy, cho nên khoảng cách giữa bạn và chìa khóa xe không bao giờ thay đổi.

bây giờ giả sử có một cô gái đứng ngoài lề đường tên Alex, và cô ấy muốn đo đạc khoảng cách đến chiếc chìa khóa trong chiều chuyển động, cô ấy phải làm thế nào?

nếu chúng ta biết rằng tại thời điểm đo đạc bắt đầu xảy ra, khoảng cách giữa chìa khóa và bạn giống với khoảng cách giữa chìa khóa và Alex.

tức là đặt điều kiện (t₀ = 0 , x₀ = x') 

thì khoảng cách giữa chiếc chìa khóa và Alex sẽ là đại lượng "x" , và đại lượng này sẽ tăng dần theo thời gian, do đó khoảng cách giữa Alex và chiếc chìa khóa là 

x = (x' + vt') 

với "v" là vận tốc của xe gắn máy.

còn (t') là thời gian trôi qua cho bạn (người ngồi trên xe).

như vậy đối với bạn, người ngồi trên xe gắn máy, khoảng cách giữa bạn và chiếc chìa khóa là x'

còn đối với Alex, thì khoảng cách giữa bạn và chiếc chìa khóa là x , và nó tăng dần theo thời gian.

Lưu ý : phép biến đổi Lorentz chỉ đo khoảng cách trong chiều chuyển động "x" , trên thực tế khoảng cách giữa Alex và chiếc chìa khóa có thể lớn hơn nếu khoảng cách giữa Alex và

chìa khóa có chiếm các chiều không gian (y,z) do định lý Pytago.

phép biến đổi này giả định rằng chiều không gian xét đến chỉ là chiều chuyển động mang ký hiệu x.

vậy đây chính là ý nghĩa của phép biến đổi Galileo!

vậy còn phương trình thứ hai , (t' = t) có ý nghĩa gì?

phương trình này chỉ cho chúng ta biết rằng thời gian là bất biến, do đó tốc độ trôi của thời gian là giống nhau so với bạn.

từ x = (x' + vt'), ta có thể suy ra phương trình cho vận tốc là : 

Δx = (Δx' + vΔt')

Vt = Δx/Δt = (Δx'/Δt + v(Δt'/Δt))

và ta biết Δt' = Δt, ta có thể quy đồng và loại bỏ tất cả biến t và thu được : 

Vt = v' + v  

ta suy ra được phương trình cộng dồn vận tốc ở phần đầu của bài viết là :

Vt = (v₁ + v₂) 

Ngoại trừ, sự thật hoàn toàn trái ngược.

Chúng ta biết rằng khi một vật di chuyển trong không gian đạt vận tốc gần vận tốc ánh sáng,

thì thời gian trôi qua cho vật đó càng chậm, do đó phương trình Galileo chỉ áp dụng được cho các vật di chuyển ở vận tốc chậm chạp trong đời sống hằng ngày của chúng ta mà thôi.

II : Cách mạng phép biến đổi Lorentz :

Vào năm 1905 , Albert Einstein công bố Thuyết Tương Đối Hẹp, tiếng anh Special Relativity

và hai phương trình cốt lõi của thuyết tương đối hẹp gọi là phép biến đổi Lorentz, chính là phiên

bản mở rộng của phép biến đổi Galileo.

Phép biến đổi Lorentz, được coi là cốt lõi cho thuyết tương đối hẹp, đã được Voigt phát minh vào năm 1887, được Lorentz

áp dụng vào năm 1904 và được Poincaré đặt tên vào năm 1906.

Tác giả không rõ vì sao phép biến đổi lại đặt tên theo tên của nhà vật lý Hendrik Lorentz

nhưng có thể nói, phép biến đổi Lorentz là hai phương trình cốt lõi nhất của Thuyết Tương Đối Hẹp có dạng như sau :

x = γ(x'+vt')

t = γ(t'+vx'/c²)

với "γ" đọc là gamma , chính là hệ số Lorentz.

γ = 1/sqrt(1-v²/c²)

hệ số Lorentz là một hàm của vận tốc, do đó ta có thể nhận thấy, khi vận tốc tiến đến vận tốc ánh sáng

thì γ sẽ tiến đến ∞ và hệ số Lorentz tỉ lệ thuận với năng lượng của vật thể chuyển động

E=γmc²

do đó khi một vật di chuyển với vận tốc càng gần vận tốc ánh sáng, năng lượng toàn phần nó mang được

càng cao.

như vậy một cách để giải thích vì sao các vật thể không thể đạt vận tốc ánh sáng, là năng lượng của vật đấy

sẽ tiến đến vô cùng trong lúc gia tốc lên vận tốc ánh sáng.

Tuy nhiên, mặc dù cách giải thích này đúng theo định nghĩa động học, nó không thể giải thích được

chuyện gì xảy ra.

Tại sao khi đạt vận tốc ánh sáng, γ = ∞ và rốt cuộc hệ số này có ý nghĩa gì?

hóa ra chúng ta có thể giải thích vì sao các vật thể không thể đạt vận tốc ánh sáng, mà không cần

phải thêm năng lượng vào.

trước hết hãy suy ra phương trình vận tốc từ phép biến đổi Lorentz.

chúng ta có

Δx = γ(Δx'+vΔt')

Δt = γ(Δt'+vΔx'/c²)

chúng ta có thể suy ra phương trình cộng vận tốc bằng cách chia hai vế cho nhau

với định nghĩa vận tốc tổng là Vt = Δx/Δt

Từ đây chúng ta có thể suy ra công thức cộng vận tốc tương đối là :

Vₜ = (v₁ + v₂)/(1+v₁v₂/c²)

do đó nếu một con tàu vũ trụ A đi ở vận tốc v₁ = 0.5c so với bạn, sau đó bắn ra một con tàu vũ trụ B khác di chuyển ở vận tốc v₂ = 0.5c so với con tàu A ban đầu.

thì vận tốc của tàu vũ trụ B so với bạn sẽ là :

Vₜ = (0.5c +0.5c)/(1+0.5c*0.5c/c²) = 0.8c , vẫn nhỏ hơn c, do đó công thức này chứng minh bạn không thể cộng dồn vận tốc để di chuyển nhanh hơn ánh sáng so với bất kỳ người quan sát nào.

III : Không-thời gian Hyperbolic

Vào năm 1908, cố vấn của Albert Einstein là Hermann Minkowski công bố một

mô hình cho thuyết tương đối hẹp của ông sử dụng hình học Hyperbolic :

ông nhận ra rằng công thức cộng vận tốc

(v₁ + v₂)/(1+v₁v₂/c²) rất giống biểu thức của tanh là :

tanh(θ₁+θ₂) = tanh(θ₁)+tanh(θ₂)/[1+tanh(θ₁)tanh(θ₂)]

Do bản thân tác giả đã quên cách chứng minh nên đành phải nhờ một người chứng minh dùm.

Đây là cách chứng minh biểu thức của tanh được chứng minh bởi Cao Mai Thanh Tam các bạn

có thể truy cập kênh Youtube của bạn ấy để xem các video giải tích và nếu các bạn muốn giải bài

tập có thể nhờ bạn ấy làm dùm bằng cách comment trên video,

bạn ấy là một người rất tốt bụng.

vậy biểu thức của tanh có thể được chứng minh như sau :

Điều này cho thấy tanh(θ) = V/c 
Ngay tại thời điểm này, chúng ta có thể chứng minh không thời gian là hình học Hyperbolic
bằng cách vẽ hai trục tọa độ là (ct,x) như sau :

Figure A

Trước hết chúng ta hãy tìm hiểu vì sao trên trục thời gian có biến "c" vận tốc ánh sáng nhé.
chúng ta biết rằng, không gian và thời gian có đơn vị thứ nguyên khác nhau.
nếu không gian có đơn vị là mét, thì thời gian sẽ có đơn vị là giây theo đơn vị S.I
Tuy nhiên, chúng ta nhận thấy, Thuyết Tương Đối xem không gian và thời gian là một, vì
vậy chúng ta cần quy đồng thứ nguyên.
nghĩa là nếu chúng ta đo không gian ở đơn vị là mét, thì chúng ta cũng đo thời gian ở đơn
vị là mét luôn.
do đó biến "c" , vận tốc ánh sáng có nhiệm vụ biến đổi thời gian sang đơn vị không gian.
và đối với ánh sáng, sẽ di chuyển 45° Euclid , với quãng đường x = ct , mà chính là đường tiệm
cận (asymptote) của hình học Hyperbolic.

Figure A

nhìn vào Figure A, chúng ta có thể thấy vận tốc có thể đo dưới dạng độ lớn góc hyperbolic nối giữa hai đường

đi của vật thể trong không-thời gian. với đường không-thời gian di chuyển gọi là "worldline" , bạn cứ hiểu nó giống như đường hàm tuyến tính trong đồ thị hàm số. nếu có hai vật, một vật đứng yên, một vật di chuyển ở vận tốc không đổi. thì chúng ta sẽ có hai đường worldline với một đường nối thẳng lên trục thời gian. đường worldline còn lại sẽ di chuyển nghiêng theo góc hyperbolic, điều này tạo ra một tam giác vuông với cạnh (cΔt , Δx, cΔ𝜏) có thể nhìn thấy trong Figure A.

chúng ta có thể đo vận tốc bằng cách đo độ dốc của tam giác vuông này, chính là Δx/cΔt

hoặc tốt hơn, là đo đạc góc tạo ra giữa hai đường worldline là "θ". chúng ta gọi "θ" là Rapidity. nhờ vào biểu thức của tanh là tanh(θ₁+θ₂) = tanh(θ₁)+tanh(θ₂)/[1+tanh(θ₁)tanh(θ₂)] chúng ta có thể quay lại công thức cộng vận tốc trong vật lý cổ điển, ngoại trừ chúng ta không dùng vận tốc mà dùng một đại lượng gọi là Rapidity. θₜ = θ₁+θ₂ và công thức để tính rapidity là θᵢ = tanh⁻¹(vᵢ/c) với "i" là ký hiệu vận tốc chúng ta muốn đặt. ví dụ θ₁ = tanh⁻¹(v₁/c)

từ đó suy ra một phương trình tổng là :

Vₜ/c = tanh(tanh⁻¹(v₁/c) + tanh⁻¹(v₂/c) + tanh⁻¹(v₃/c)+...) và tổng này không bao giờ bằng 1

do đó nếu một con tàu vũ trụ A di chuyển ở vận tốc 0.5c so với bạn rồi bắn ra một tàu vũ trụ B

di chuyển ở vận tốc 0.5c so với A và con tàu B lại tiếp tục bắn ra một con tàu C khác di chuyển ở 0.5c

so với B nữa,

thì vận tốc của con tàu C cuối cùng so với bạn không phải là 0.5c + 0.5c + 0.5c = 1.5c

mà sẽ là :

tanh(tanh⁻¹(0.5)+tanh⁻¹(0.5)+tanh⁻¹(0.5))c = 0.9285714c mà thôi.

và đối với ánh sáng, thì v/c = c/c = 1

ta có rapidity của ánh sáng là θ = tanh⁻¹(1) = ∞

điều này lý giải được vì sao chúng ta không thể đạt được vận tốc ánh sáng

vì rapidity của ánh sáng là vô hạn

và không có rapidity nào nhanh hơn ánh sáng.

điều này có nghĩa là cho dù bạn di chuyển nhanh cỡ nào, rapidity của bạn vẫn chỉ mang

một giá trị hữu hạn vì thế không bao giờ có thể đạt đến ∞

cho dù rapidity của bạn có giá trị lớn hơn toàn bộ số lượng nguyên tử của toàn bộ vũ trụ,

thì rapidity vẫn chỉ là một giá trị hữu hạn trên phương diện toán học,

do đó bạn mãi mãi không bao giờ đạt được vận tốc ánh sáng.

ở vận tốc trong đời sống hằng ngày, Rapidity có giá trị rất bé.

ví dụ đối với một chiếc máy bay di chuyển ở vận tốc 700 km/h, rapidity của nó chỉ là

0.000000648597 radian.

như vậy chúng ta đã chứng minh rằng vì sao không thể đạt vận tốc ánh sáng chỉ sử dụng

hình học và lượng giác, không hề thêm vào bất kỳ yếu tố nào như năng lượng và khối lượng.

Vì vậy tóm lại, bạn chỉ cần nhớ 4 điều sau : 1. Trong điều kiện vật lý mang chuyển động chậm, vận tốc chỉ cộng dồn theo công thức đơn giản : Vₜ = (v₁ + v₂) 2. Đối với các vật thể di chuyển rất nhanh, công thức đúng phải là : Vₜ = (v₁ + v₂)/(1+v₁v₂/c²) 3. Dù cho vật di chuyển nhanh cỡ nào, Rapidity vẫn cộng như vận tốc trong cơ học cổ điển

θₜ = θ₁+θ₂ nhờ vào tính lượng giác của hình học Hyperbolic 4. Đối với ánh sáng Rapidity là vô hạn. Nếu bạn đã từng học qua giải tích, chắc hẳn bạn cũng biết về khái niệm giới hạn hàm số. có lẽ bạn cũng biết ý nghĩa của nó nhưng không biết nó có ý nghĩa vật lý như thế nào. nếu ta đặt lim v->c cho [tanh⁻¹(v/c)], ta nhận ra rằng nó bằng vô hạn. điều này có nghĩa khi v tiến đến c, thì [tanh⁻¹(v/c)] sẽ tiến đến vô cùng. Vì vậy lần tới khi có ai hỏi bạn tại sao vận tốc ánh sáng không bao giờ có thể đạt được, hãy tiết lộ bí mật này cho họ nhé! :> Cảm ơn các bạn đọc giả đã dành thời gian. Tác giả : Quach Minh Dang

.