TENSOR METRIC | PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TRÊN MẶT CONG

Chào mừng các đọc giả đã quay trở lại.

trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về một đại lượng hình học gọi là tensor metric , ký hiệu "gᵢj"

Lưu ý : Do tác giả sử dụng các ký tự subscript và superscript để minh họa cho các biến index nên một số thiết bị

đặc biệt là điện thoại di động sẽ không display đúng vị trí của các ký tự trong Tensor Metric.

do đó Admin sẽ kèm bức ảnh này, chính là ký hiệu của tensor metric , "g" với thành phần i và j

Tensor Metric mang thành phần tọa độ là i và j

Trước hết hãy hình dung Trái Đất của chúng ta.

Trái Đất là một vật thể hình cầu trong không gian 3 chiều, và bề mặt của Trái Đất là một bề mặt cong, với độ cong vô hướng được đo bởi một đại lượng hình học gọi là Ricci Scalar, ký hiệu "R".

trên bề mặt của hình cầu

R = 2/r² , với "r" là bán kính của hình cầu,

công thức R = 2/r² cho ta biết, Ricci scalar phụ thuộc vào bán kính, và đối với một vật hình cầu càng lớn, chúng ta nhận thấy Ricci Scalar có giá trị càng bé, nghĩa là hình cầu càng lớn, thì độ cong trung bình trên toàn bộ bề mặt của nó càng nhỏ.

đây chính là lý do vì sao chúng ta từng nghĩ rằng Trái Đất là phẳng, với bán kính khổng lồ lên đến 6371 km, Ricci Scalar của Trái Đất rất bé, đối với trái đất là R = 4.9*10⁻¹⁴ m⁻² , đây chính là lý do vì sao chúng ta thấy rõ độ cong trên một quả bóng tennis, trong khi đó toàn bộ nhân loại từng tin vào thuyết Trái Đất Phẳng vào thời trung cổ.

I. Giới hạn của định lý Pytago :

Trước hết hãy thay đổi cách mà chúng ta hình dung bề mặt của hình cầu, đừng hình dung chúng ta nhìn vào bề mặt đấy từ không gian 3 chiều bên ngoài.

thay vào đó hãy tưởng tượng bề mặt này là toàn bộ không gian 2 chiều, và toàn bộ vũ trụ chỉ tồn tại không gì khác ngoài mặt cầu đấy.

hãy hình dung đó là bề mặt của Trái Đất, và chúng ta sẽ thu được một thứ gọi là bản đồ chụp chiếu, tức là toàn bộ bề mặt của Trái Đất sẽ tựa như bề mặt của một tờ giấy, mang một hệ tọa độ kinh tuyến / vĩ tuyến.

Tuy nhiên hãy giả sử chúng ta có thể đo khoảng cách giữa hai điểm vô cùng nhỏ trên bề mặt đấy, sử dụng tọa độ kinh tuyến và vĩ tuyến, chúng ta cần phải làm gì?

Có lẽ ý tưởng đầu tiên là áp dụng định lý Pytago!

hãy đặt tọa độ kinh tuyến là "Φ"

còn tọa độ vĩ tuyến là "θ"

và chúng ta biết vi phân quãng đường là

ds² = dx² + dy² , chúng ta có thể áp dụng nó vào mặt cầu này và suy ra :

ds² = dθ² + dΦ² ?

KHÔNG! Có hai lý do chính vì sao công thức này không hoạt động.

1. SAI HỆ TỌA ĐỘ

định lý Pytago chỉ có thể được áp dụng trong hệ tọa độ Cartesian, tức là hệ tọa độ mặt phẳng (x,y), trong trường hợp của mặt cầu chúng ta đang sử dụng hệ tọa độ kinh tuyến vĩ tuyến được đo bởi góc (Φ,θ) và các đại lượng này không phải là đại lượng đo chiều dài không gian.

2. MẶT CẦU CÓ CHỨA ĐỘ CONG :

Trên mặt cầu, các góc cộng lại lớn hơn 180 độ

Ngay cả khi chúng ta không dùng công thức

ds² = dθ² + dΦ² và dùng ds² = dx² + dy² truyền thống, thì vẫn không thể tính ra được khoảng cách giữa hai điểm vô cùng nhỏ trên mặt cầu.

nguyên nhân là bởi vì mặt cầu có bản chất là một mặt cong, và trên bề mặt cong có giá trị dương, hai đường thẳng song song sẽ hội tụ, và các góc của tam giác tạo nên bởi mặt cong có thể nhỏ hoặc lớn hơn 180° , như vậy ta có thể thấy ngay cả khi bề mặt là cong, định lý Pytago cũng không chính xác tuyệt đối vì hình học không tuân theo nguyên lý của Euclid, do đó ta cần có một phương pháp khác để đo đạc khoảng cách giữa hai điểm vô cùng nhỏ "ds"

II. Notation của Einstein :

giả sử chúng ta có một vector viết dưới dạng tổng tuyến tính với các vector cơ sở "εᵢ"

chúng ta có thể viết

V = (Vₓ εₓ + Vᵧ εᵧ) tuy nhiên, chúng ta hãy đưa giá trị x và y của thành phần vector lên đỉnh, chúng ta sẽ thu được.

V = (Vˣ εₓ + Vʸ εᵧ) = Vᵘ εᵤ

ký hiệu [Vᵘ εᵤ] gọi là notation của Einstein, với hai ký tự giống nhau "ᵘ" trên một tích là V và ε, đại diện cho một tổng qua các chiều không gian, ví dụ trong trường hợp này là x và y.

Chú ý, không nên nhầm lẫn Einstein's notation với lũy thừa, ví dụ khi mình viết số mũ của một thành phần vector, thì mình sẽ viết

(Vˣ)² , trong đó "x" là thành phần tọa độ của vector còn bình phương được đánh dấu ngoài dấu ngoặc.

Tổng tuyến tính chứa thành phần (0,1) của vector được viết ngắn gọn sử dụng Einstein's notation

III. Định nghĩa của Tensor Metric :

giả sử bây giờ chúng ta tích vô hướng vector "V" nhưng không tích vô hướng theo cách thông thường, mã chúng ta hãy tích vô hướng toàn bộ thành phần của vector và các vector cơ sở, sau đó ta thu được :

V . V = ||V||² = (Vˣ εₓ + Vʸ εᵧ) . (Vˣ εₓ + Vʸ εᵧ)

= (Vˣ Vˣ) (εₓ . εₓ) + (Vˣ Vʸ) (εₓ . εᵧ) + (Vʸ Vˣ) (εᵧ . εₓ) + (Vʸ Vʸ) (εᵧ . εᵧ)

trong tọa độ Cartesian hình học Euclid, chúng ta có 4 tích vô hướng của vector cơ sở là :

(εₓ . εₓ) = gₓₓ = 1

(εₓ . εᵧ) = gₓᵧ = 0

(εᵧ . εₓ) = gᵧₓ = 0

(εᵧ . εᵧ) = gᵧᵧ = 1

Ta suy ra mô đun của vector là  :

||V||² = (Vˣ Vˣ) (εₓ . εₓ) + (Vˣ Vʸ) (εₓ . εᵧ) + (Vʸ Vˣ) (εᵧ . εₓ) + (Vʸ Vʸ) (εᵧ . εᵧ)

= (Vˣ Vˣ) gₓₓ + (Vˣ Vʸ) gₓᵧ + (Vʸ Vˣ) gᵧₓ + (Vʸ Vʸ) gᵧᵧ

= (Vˣ Vˣ) 1 + (Vˣ Vʸ) 0 + (Vʸ Vˣ) (εᵧ . εₓ) 0 + (Vʸ Vʸ) 1

= (Vˣ)² + (Vʸ)²

Đây chính là định lý Pytago quen thuộc A² + B² = C² .

Như vậy chúng ta có thể nhận thấy định lý Pytago là một trường hợp đặt biệt khi tích vô hướng của các vector cơ sở với nhau có giá trị là (1, 0 , 0 , 1) và tích vô hướng của hai vector cơ sở

(εᵢ . εj) = gᵢj ,và "gᵢj" chính là Tensor Metric.

tensor metric chính là tích vô hướng của các vector cơ sở.

Chúng ta có thể áp dụng nguyên lý tương tự nhưng thay bằng tọa độ thay vì vector, đối với tọa độ Cartesian ta thu được : 

ds² = (dx dx) gₓₓ + (dx dy) gₓᵧ + (dy dx) gᵧₓ + (dy dy) gᵧᵧ

Tuy nhiên hãy mở rộng cho tất cả các tọa độ, nghĩa là thay vì sử dụng ký hiệu (x,y) để biểu diễn hai chiều trong tọa độ Cartesian, hãy dùng (x¹,x²) , như vậy chúng ta có thể áp dụng với mọi hệ tọa độ.

ví dụ chúng ta có thể đặt

x¹ = x , x² = y hoặc là x¹ = θ , x² = Φ ,chúng ta thay các biến thành các chỉ số index (1,2,3,4...) và chúng ta có thể sử dụng cho bao nhiêu chiều không gian cũng được, ta thu được biểu thức tính quãng đường vi phân như sau :

ds² = (dx¹ dx¹) g₁₁ + (dx¹ dx²) g₁₂ + (dx² dx¹) g₂₁ + (dx² dx²) g₂₂

bây giờ chúng ta hãy thử áp dụng công thức này vào tọa độ kinh tuyến / vĩ tuyến nhé!

trong tọa độ kinh tuyến / vĩ tuyến, đặt vĩ tuyến θ = x¹ , kinh tuyến Φ = x² , biết được metric của tọa độ kinh tuyến / vĩ tuyến là :

g₁₁ = r²

g₁₂ = 0

g₂₁ = 0

g₂₂ = r² cos²(x¹)

Ta có : 

ds² = (dx¹ dx¹) r² + (dx¹ dx²) 0 + (dx² dx¹) 0 + (dx² dx²) r² cos²(x¹)

ds² = (dx¹)² r² + (dx²)² r² cos²(x¹)

và ta biết rằng θ = x¹ , Φ = x² , ta có thể biến đổi lại để dễ cho công thức dễ nhìn hơn, ta thu được :

ds² = (dθ)² r² + dΦ² r² cos²(θ)

và đây chính là công thức chuẩn để tính khoảng cách giữa hai điểm vô cùng nhỏ "ds" trên bề mặt cầu với hàm input là tọa độ vĩ tuyến θ và tọa độ kinh tuyến Φ

với "r" là bán kính của khối cầu, trong trường hợp này là Trái Đất.

và bởi vì trong metric đã mã hóa độ cong của mặt cầu, chúng ta không cần phải lo lắng về tính chính xác, tuy nhiên tensor metric chỉ giúp chúng ta tính một quãng đường vi phân vô cùng nhỏ "ds", nếu chúng ta muốn đo một quãng đường lớn "S" , từ vài nghìn km trở lên trên mặt cầu, chúng ta cần phải tích phân ds, và công thức là 

S = ∫ sqrt[gᵢj (dxᶦ/dλ) (dxʲ/dλ)] dλ (từ a đến b) có thể thấy ở hình bên dưới.

với (λ) gọi là Affine parameter.

ví dụ λ có thể là thời gian (t) , trong trường hợp này ta thu được

 S = ∫ sqrt[gᵢj (dxᶦ/dt) (dxʲ/dt)] dt (từ a đến b)

với (dxᶦ/dt) và (dxʲ/dt) là các thành phần vận tốc của vật di chuyển trên mặt cầu.

Như vậy chúng ta có thể hiểu Tensor Metric như là một cỗ máy giúp chuyển đổi các đơn vị tọa độ trừu tượng có thể bao gồm cả độ cong, sang các đại lượng vật lý thật như khoảng cách giữa các điểm, và các góc giữa các điểm.

Như vậy chúng ta có thể hiểu Tensor Metric như là một đại lượng "tỉ lệ xích" trên các bản đồ, ví dụ trên các bản đồ thường nói tỉ lệ 1/10⁶ , thì có thể hiểu là 1 cm trên bảng đồ = 10 km ngoài đời thực.

Tensor Metric cũng làm trò tương tự ngoại trừ việc giúp chúng ta xác định khoảng cách thực dựa trên các đại lượng tọa độ trừu tượng.

ví dụ chúng ta có thể thay thế hệ tọa độ, giả sử trong tương lai nhân loại không sử dụng tọa độ kinh tuyến / vĩ tuyến nữa, mà là một hệ tọa độ hoàn toàn mới để miêu tả mặt cầu của Trái Đất, thì chúng ta vẫn có thể xác định các thành phần của Tensor Metric trong các tọa độ đấy, sau đó tính toán ra khoảng cách giữa hai điểm trên bề mặt giống như công thức lúc nãy. 

IV : Cách xác định Tensor Metric :

Cách xác định tensor Metric khi thay đổi từ hệ tọa độ cũ sang hệ tọa độ mới rất đơn giản nếu không thay đổi cấu trúc bề mặt của hình học (gọi là đa tạp).

Ví dụ trên một bề mặt phẳng, chúng ta có tọa độ Cartesian với các biến (x,y) , chúng ta biết rằng

bán kính của một hình tròn bình phương là x² + y² = r² , và chúng ta biết rằng độ dốc

tan(θ) = y/x

vậy chúng ta có thể suy ra phép biến đổi từ tọa độ Cartesian sang tọa độ mới gọi là (Tọa độ cực) như sau : 

r = sqrt(x² + y²)

θ = tan⁻¹(y/x)

và phép biến đổi ngược là :

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

Như vậy nếu chúng ta có một mặt phẳng, và chúng ta biết tọa độ (x,y), chúng ta có thể đổi sang (r,θ)

giả sử bây giờ chúng ta muốn biết "ds" nhưng chúng ta đang ở tọa độ (r,θ) , làm sao chúng ta xác định được Tensor Metric khi biết được những mối quan hệ này?

Trước hết thì có một sự thật có thể khiến bạn bị sốc khi lần đầu tiếp xúc với hình học vi phân, đó là

đạo hàm của vector vị trí R(x,y) cho một tọa độ, chính là vector cơ sở của tọa độ đó :

∂R/∂x = εₓ

trước hết hãy viết đạo hàm ∂R/∂λ dưới dạng giới hạn hàm số của vector.

∂R/∂λ = lim h-> 0 [R(λ+h)-R(λ)]/h 

có thể thấy như hình bên dưới : 

Chúng ta có thể thấy trong hình, khi vector R(λ+h) tiến đến vector R(λ), thì vector đạo hàm màu vàng bắt đầu trở nên tiếp tuyến với đường cong màu cam.

Giả sử bây giờ chúng ta đạo hàm một vector vị trí "R(x,y)" cho một biến "t" 

ta có thể áp dụng quy luật chuỗi đạo hàm và ta thu được

dR/dt = (dx/dt) (∂R/∂x) + dy/dt (∂R/∂y), và chúng ta có thể chứng minh rằng, hai đạo

(∂R/∂x) và (∂R/∂y) là hai vector cơ sở (εₓ và εᵧ)

giả sử bây giờ ta đạo hàm R(x,y) cho x, ta thu được Limit như sau :

∂R/∂x = lim h-> 0 [R(x+h,y)-R(x,y)]/h 

Như hình bên dưới chúng ta có thể nhận, thấy, cho dù h mang giá trị là bao nhiêu, thì 

∂R/∂x luôn = 1, đây chính xác là dấu hiệu của vector cơ sở, luôn có giá trị tọa độ = 1

và ta có thể thấy rằng, khi vector Rₕ tiến đến vector R, vector đạo hàm [∂R/∂x] hoàn toàn tiếp tuyến với trục tọa độ x, và bất chấp giá trị của h, vector [∂R/∂x] = 1 , vì vậy chứng minh được [∂R/∂x] là vector cơ sở εₓ .

Quay trở lại tọa độ cực và tọa độ Cartesian, chúng ta có thể biến đổi vector cơ sở sử dụng quy luật chuỗi.

ta biết ∂R/∂xᶦ = εᵢ

ta có thể suy ra các vector cơ sở của tọa độ cực là 

∂R/∂r = εᵣ

∂R/∂θ = εθ

áp dụng quy luật chuỗi ta có : 

∂R/∂θ = dx/dθ (∂R/∂x) + dy/dθ (∂R/∂y)

suy ra

εᵣ = (dx/dr) εₓ + (dy/dr) εᵧ

εθ = (dx/dθ) εₓ + (dy/dθ) εᵧ

dựa trên phép biến đổi, ta biết được x = r cos(θ) , y = r sin(θ)

chúng ta có thể tính toán ra các giá trị của εᵣ và εθ

ta có : εᵣ = cos(θ) εₓ + sin(θ) εᵧ

εθ = -rsin(θ) εₓ + rcos(θ) εᵧ

tích vô hướng chúng ta có

εᵣ . εᵣ = gᵣᵣ = 1

εᵣ . εθ = grθ = 0

εθ . εᵣ = gθr = 0

εθ . εθ = gθθ = r²

ta suy ra được 

ds² = dr² + dθ²r² 

và đây chính là công thức tính quãng đường vi phân vô cùng nhỏ trong tọa độ cực.

ta nhận thấy trong tọa độ Cartesian, ta có ds² = dx² + dy² có thể viết thành

ds = sqrt(1+(dy/dx)²) dx , ta có thể tích phân để tìm đường cong arc length "L" như sau : 

L =  ∫ sqrt(1+(dy/dx)²) dx từ a đến b

tương tự như vậy chúng ta đã khám phá ra được vi phân quãng đường trong tọa độ cực là 

ds² = dr² + dθ²r² 

chúng ta có thể viết thành 

L =  ∫ sqrt (r²+(dr/dθ)²) dθ từ a đến b, và đây chính là công thức tính độ dài Arc length của một đường hàm trong tọa độ cực.

với quãng đường vi phân "ds" được gọi là "line element" và Tensor Metric chính là công cụ giúp chúng ta tính toán được line element trong bất kỳ tọa độ nào, và độ cong của bề mặt có thể mã hóa vào Tensor Metric.

BẠN CÓ BIẾT? Đường thẳng trên mặt cầu bị cong trên bản đồ?

Đường Trắc Địa nối giữa San Francisco và Singapore trong có vẻ cong trên mặt cầu

 Khi làm phẳng mặt cầu của trái đất thành hình chiếu, thì một chuyến bay từ San Francisco đến Singapore sẽ vẽ thành một đường trông có vẻ cong, nhưng thực tế đấy là đường ngắn nhất đấy!

bởi vì tọa độ của chúng ta có mã hóa độ cong của mặt cầu, các đường trông có vẻ thẳng giữa hai điểm thực chất lại là các đường cong, tức là các đường có chứa rẽ.

còn cái đường có vẻ cong cong thực chất lại là đường ngắn nhất, chính là định nghĩa của một đường trắc địa.

đường trắc địa chính là đường thẳng trên mặt cong, có thể hiểu nó là đường đi được vẽ ra từ một chiếc xe hơi đồ chơi dính chặt trên bề mặt, mà cả bánh trái lẫn bánh phải đều lăn cùng tốc độ.

trên đường trắc địa, các vector được dịch chuyển một cách thẳng về phía trước, không hề rẽ sang hướng nào ngoại trừ việc tiến lên phía trước.

bởi vì mặt chiếu của hình cầu là mặt phẳng phi Euclid do đã mã hóa độ cong của mặt cầu, ta có thể thấy định lý Pytago không thể áp dụng, trong hình chúng ta thấy đường màu cam trông có vẻ ngắn nhất nhưng không phải là đường ngắn nhất.

Tuy nhiên nếu nói đường ngắn nhất là đường cong thì chúng ta hoàn toàn SAI đấy!

nên nhớ rằng đường thẳng chúng ta đã định nghĩa là đường trắc địa, chính là cái đường có vẻ cong màu đen.

còn đường cong thực sự chính là đường màu cam, nếu chúng ta dùng Tensor Metric để tính, sẽ phát hiện ra đường màu cam dài hơn đường màu đen rất nhiều.

Chi tiết về đường trắc địa bạn có thể đọc tại bài viết : https://minhdangphysics.blogspot.com/2023/07/tom-tat-uong-trac-ia-va-khong-thoi-gian.html

Lưu ý : trong suốt bài viết này chúng ta chỉ đối đầu với 2 chiều không gian (0,1), line element có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức : ds² = (dx¹ dx¹) g₁₁ + (dx¹ dx²) g₁₂ + (dx² dx¹) g₂₁ + (dx² dx²) g₂₂

nhưng chúng ta có thể mở rộng lên "n chiều", và nếu chúng ta tăng lên 3 chiều, tức là sẽ có 3² = 9 thành phần

(g₁₁, g₁₂,g₁₃,g₂₁,g₂₂,g₂₃,g₃₁,g₃₂,g₃₃) và line element trong 3 chiều sẽ là :

ds² = (dx¹ dx¹) g₁₁ + (dx¹ dx²) g₁₂ + (dx¹ dx³) g₁₃ + (dx² dx¹) g₂₁ + (dx² dx²) g₂₂ + (dx² dx³) g₂₃

+ (dx³ dx¹) g₃₁ + (dx³dx²) g₃₂ + (dx³ dx³) g₃₃

Nhờ vào Einstein's notation, chúng ta có thể viết phương trình này thành :

ds² = gᵢj dxᶦ dxʲ có thể thấy ở hình bên dưới :

Tuy nhiên đa số các hệ tọa độ mà chúng ta thường đối mặt thường là tọa độ vuông góc (Orthogonal coordinate system)

nên các vector cơ sở sẽ vuông góc với nhau, điều có nghĩa là tích vô hướng của chúng = 0 , và nhờ vào tính đối xứng từ tính chất giao hoán, ta biết g₂₁ = g₁₂

và từ đó tránh tính toán các tích vô hướng dẫn đến các giá trị = 0

Vào năm 1916, Nhà khoa học Karl Schwarzschild đưa ra nghiệm chân không trong phương trình trường Einstein, ông đã giải được Tensor Metric cho không-thời gian cong, chỉ sau vài tháng kể từ khi Albert Einstein và Hilbert công bố thuyết tương đối rộng, và hệ quả này còn được biết đến là hố đen vũ trụ. Sau đó thì hố đen đầu tiên được phát hiện là Cygnus X-1 vào năm 1964.

Trong các bài viết tiếp theo mình sẽ nói về đạo hàm hiệp phương sai và biểu tượng Christoffel, chính là những khái niệm cơ bản nhất trong giải tích Tensor.

Cảm ơn các bạn đọc giả đã dành thời gian!